Составители:
Рубрика:
104
делами интегрирования. Сформулируем, например теоремы сравнения для ин-
теграла вида (2) (для интегралов вида (1) и (3) они формулируются и доказыва-
ются аналогично).
Теорема 1. Если для некоторого числа δ > 0 при а ≤ х ≤ а + δ имеет ме-
сто неравенство:
0 ≤
f(x) ≤ g(x),
то из сходимости интеграла
∫
b
a
dxxg )( , (а – особая точка функции g(x)) следует
сходимость интеграла
∫
b
a
dxxf )( , (а – особая точка функции f(x)), а из расходи-
мости интеграла
∫
b
a
dxxf )(
следует расходимость интеграла
∫
b
a
dxxg )(
.
Теорема 2. Если существует предел
,0,
)(
)(
lim +∞≤≤=
→
kk
xg
xf
ax
причем для некоторого положительного числа
δ при а ≤
х ≤ а + δ справедливы
неравенства
f(x) ≥ 0, g(x) > 0, то из сходимости несобственного интеграла
()
b
a
g
xdx
∫
при 0 ≤ k < ∞ следует сходимость несобственного интеграла
∫
b
a
dxxf )( ,
а из расходимости интеграла
∫
b
a
dxxg )( при 0 < k ≤ ∞ следует расходимость ин-
теграла
∫
b
a
dxxf )( (точка а – особая точка).
Теорема 3. Если сходится несобственный интеграл () ,
b
a
f
xdx
∫
то схо-
дится интеграл
∫
b
a
dxxf )( , (а – особая точка функции f(x)).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
