Составители:
Рубрика:
105
Определение 3. Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Тогда он
называется
абсолютно сходящимся, если, наряду с ним, сходится и интеграл
() ,
b
a
f
xdx
∫
(4)
и
условно сходящимся, если интеграл (4) расходится.
Замечание. Для исследования сходимости интеграла (2) по теоремам 1 и
2 функцию
f(х) часто сравнивают со степенной функцией 1/x
p
(см. пример 2).
ПРИМЕР 4. Исследовать на сходимость интеграл
.
4
)1ln(
1
0
2
∫
+
+
dx
xx
x
(5)
Здесь точка
x = 0 − особая точка. В окрестности нуля бесконечно малая
функция
ln(1+ x) эквивалентна x, а функция x
2
+ 4 x
3
эквивалентна x
2
. Тогда,
сравнивая подынтегральную функцию с функцией
2
1x
x
x
=
, получим
1
41
1
lim
4
)1ln(
lim
1
4
)1ln(
lim
0
32
0
32
0
=
+
=
+
+
=
+
+
→→→
x
xx
xx
x
xx
x
xxx
.
Но интеграл
∫
1
0
x
dx
расходится, следовательно, по теореме 2 расходится и инте-
грал (5).
ПРИМЕР 5. Интегралом Эйлера I-го рода, или бета-функцией, называ-
ется интеграл:
1
11
0
(,) (1 )
ab
ab x x dx
−−
Β= −
∫
, (6)
где
а и b – положительные постоянные.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
