Составители:
Рубрика:
107
ПРИМЕР 6. Интегралом Эйлера II-го рода, или гамма-функцией, на-
зывается интеграл
1
0
Г() , 0
ax
axedxa
+∞
−−
=⋅ >
∫
. (7)
Для исследования интеграла (7) на сходимость разобьем его на сумму
двух интегралов:
.
21
1
1
1
0
1
0
1
IIdxexdxexdxex
xaxaxa
+=⋅+⋅=⋅
∫∫∫
∞
+
−−−−
∞+
−−
Если
а
≥ 1, то подынтегральная функция непрерывна, а значит, I
1
– собст-
венный интеграл.
При 0 <
а
< 1 и x
≥ 0 имеем х
а – 1
е
– х
≤ х
а – 1
. Поэтому в силу теоремы 1
интеграл
dxex
xa
∫
−−
1
0
1
cходится, если сходится интеграл dxx
a
∫
−
1
0
1
, т.е. при а > 0
(подробнее см. пример 2).
Исследуем теперь на сходимость интеграл
I
2
.
Известно, что для достаточно больших значениий
x (т.е. при x >> 1) и
при любом положительном числе
λ справедливо соотношение: ln x < x
λ
< e
x
.
Поэтому, приняв
λ = 2а, получим:
ax
x
e >
2
при а > 0. Тогда подынтегральная
функция в (7) удовлетворяет неравенству:
222
1
11
xxx
a
xa
ee
x
e
x
ex <⋅=
−−
. По-
скольку
/2 /2 1/2
1
1
22
xx
edx e e
∞
∞
−−−
=
−=<∞
∫
, то по теореме 1 п. 3.3 интеграл
I
2
сходится при а
> 0.
Таким образом, доказано, что интеграл Эйлера II-го рода (7) сходится при
любом положительном значении параметра
а.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
