Математика в нефтегазовом образовании: Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. Неопределенные и определенные интегралы. Калинин В.В - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

109
Интегрирование под знаком интеграла.
Исследуем интеграл:
dxyxfyI
y
y
∫
=
)(
)(
2
1
),()(
ϕ
ϕ
, (1)
в котором и подынтегральная функция, и пределы интегрирования зависят от
параметра
у. В этом случае и результат интегрирования будет представлять со-
бой функцию переменной
у.
Пусть функции φ
1
(у) и φ
2
(у) непрерывны, а функция f (x, y) непрерывна по
совокупности своих переменных. В этом случае существует интеграл:
2
1
()
()
() (,)
y
dd
ccy
I
y
d
y
d
yf
x
y
dx
ϕ
ϕ
=
∫∫∫
. (2)
В частном случае, если функции φ
1
(у) и φ
2
(у) есть постоянные: φ
1
(у) ≡ a;
φ
2
(у) ≡ b, то в равенстве (2) можно поменять порядок интегрирования:
() (,) (,)
ddb bd
cca ac
I
y
d
y
d
yf
x
y
dx dx
f
x
y
d
y
==
∫∫∫ ∫∫
. (3)
Дифференцирование под знаком интеграла.
Теорема 1. Пусть функция I(y) задана равенством:
() (,)
b
a
I
yf
x
y
dx=
∫
, (4)
где функция
f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную
y
f
′
(x,y) в прямоугольнике: а
≤ x
≤ b, c
≤ у
≤ d.
Тогда существует производная функции (4), причем
'( ) ( , ) ( , )
bb
y
aa
d
I
yf
x
y
dx
f
x
y
dx
dy
′
==
∫∫
. (5)

Страницы