Составители:
Рубрика:
108
Замечание. Отметим важное свойство гамма-функции. Имеем
0
0
Г(1) 1
xx
edx e
+∞
+∞
−−
==−=
∫
.
Для любого натурального значения
n, применив формулу интегрирования по
частям, получим
111 1
0
00 0
2
0
Г()
(1) (1)(1).
nx nx nx xn
nx
n x edx x de x e edx
nxedxn n
+∞ +∞ +∞
+∞
−− −− −− − −
+∞
−−
⎛⎞
⎜⎟
=⋅=− =− − =
⎜⎟
⎝⎠
=− ⋅ =−⋅Γ−
∫∫ ∫
∫
Повторяя процедуру интегрирования по частям, приходим к формуле
()(1)(1)(1)(2)( 2)
(1)(2) 2(1).
nn n n n n
nn
Γ=−⋅Γ−=−⋅−⋅Γ−=
=
−⋅ − ⋅⋅⋅Γ
…
…
Отсюда получаем известное соотношение, связывающее гамму-функцию
натурального аргумента
n и факториал этого числа:
Г() ( 1)!nn=−
Таким образом, гамма-функция представляет собой обобщение понятия
факториала на множество неотрицательных чисел.
3.5. Интегралы, зависящие от параметра.
Интегралы Эйлера представляют собой пример несобственных интегра-
лов, зависящих от параметра. Такие интегралы можно рассматривать в качестве
функции, аргументом которой является параметр. Тогда с этой функцией мож-
но производить операции, известные из курса математического анализа, в част-
ности, интегрировать или дифференцировать. Сформулируем некоторые полу-
чающиеся при этом результаты.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
