Математика в нефтегазовом образовании: Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. Неопределенные и определенные интегралы. Калинин В.В - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

110
ПРИМЕР 1. Найти производную функции
()
1
22
0
() ln .I
y
x
y
dx=+
∫
Имеем по формуле (5):
()
11
22
22
00
21
() ln( ) 2arctg
'
y
y
I y x y dx dx
y
xy
′
=+ = =
+
∫∫
.
Теорема 2. Пусть функция I(у) задается формулой (1):
2
1
()
()
() (,)
y
y
I
yf
x
y
dx
ϕ
ϕ
=
∫
,
где функция
f(x,y) непрерывна в прямоугольнике а
≤ x
≤ b, c
≤ у
≤ d, функ-
ции
φ
1
(у) и φ
2
(у) непрерывны при c ≤ у ≤ d и принимают значения в интервале
от
а до b. Тогда функция I(у) непрерывна при c ≤ у ≤ d.
Если к тому же в указанном прямоугольнике существует и непрерывна ча-
стная производная
y
f
′
(x,y), а также существуют производные φ′
1
(у) и φ′
2
(у), то
производная интеграла
I(у) существует определяется по формуле
() ( ) ( )
2
1
()
22 11
()
() , () (), () (),
y
y
y
I
yf
x
y
dx
yf yy yf yy
ϕ
ϕ
ϕϕ ϕϕ
′′′ ′
=+⋅−⋅
∫
. (6)
ПРИМЕР 2. Найти производную функции
2
2
()
y
yx
y
Iy e dx=
∫
.
По формуле (6) получаем
2
222
2
2
253
2
2
() ( ) ( ) ()
2.
y
yx ' yx yx
yy y
x
yxy
y
y
yx y y
y
Iy e dx y e y e
xe dx ye e
==
⎛⎞ ⎛⎞
′′′
=+⋅−⋅=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
=+−
∫
∫

Страницы