Составители:
Рубрика:
112
o. При условиях, сформулированных в свойстве 1, справедлива формула
интегрирования под знаком интеграла:
(, ) (, )
dd
ca ac
d
yf
x
y
dx dx
f
x
y
d
y
∞∞
=
∫∫ ∫∫
.
p. Если функции f(x,y) и
y
f
′
(x,y) непрерывны, несобственный интеграл
(7) сходится, а интеграл
(, )
y
a
f
xydx
∞
′
∫
сходится равномерно, то имеет место
формула дифференцирования под знаком интеграла:
∫∫
∞∞
=
aa
y
dxyxfdxyxf
dy
d
),(),(
'
.
Интегрирование и дифференцирование по параметру иногда позволяет
значительно упростить процедуру вычисления определенных интегралов:
ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл
0
sin
x
Adx
x
∞
=
∫
.
Соответствующий неопределенный интеграл
sin
x
dx
x
∫
не может быть вы-
ражен в элементарных функциях, он носит название
интегрального синуса.
Для вычисления искомого интеграла
A рассмотрим функцию
0
sin
() , 0
tx
x
It e dx t
x
∞
−
=⋅ ≥
∫
.
Тогда A = I(0).
Дифференцируя
под знаком интеграла, получим
0
() sin
tx
It e xdx
∞
−
′
=−
∫
.
Этот интеграл легко вычисляется при
0t > :
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
