Составители:
Рубрика:
106
При а ≥ 1 и b ≥ 1 в интеграле (6) особых точек нет, при а < 1 особая точ-
ка – ноль, при
b < 1 особая точка – единица.
Разложим интеграл (6) на сумму двух интегралов:
21
1
1
2
/
1
11
2/1
0
1
)1()1(),(B IIdxxxdxxxba
baba
+=−+−=
−−−−
∫∫
,
и оценим каждое из слагаемых.
При
x ≤ 1/2 и b < 1 имеем:
()
1
1
1
2
1
1
1
1
11
2
1
1
)1(
−
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=≤
−
=−
b
a
b
a
x
b
a
ba
x
x
x
xx
.
При
b ≥ 1 и 0 ≤ x ≤ 1/2 имеем: x
111
)1(
−
−
−
≤−
aba
xx .
Интеграл
∫∫
−
−
=
2/1
0
2/1
0
1
1
a
a
x
dx
dxx
сходится при р = 1 – а < 1, т.е. при а > 0.
То же справедливо и для интеграла:
() ()
dxxdxx
a
bb
a
∫∫
−
−−
−
=
2/1
0
1
11
2/1
0
1
2121
. Сле-
довательно, по теореме 1 интеграл
I
1
сходится при а > 0 для всех b.
При
x ≥ 1/2 и а
< 1 имеем:
()
(
)
()
11
1
1
1
1
11
)1()
2
1
(
21
11
)1(
−−
−
−
−
−
−−
−=
−
≤
−
=−
ba
a
b
a
b
ba
x
x
x
x
xx .
После замены
у = 1– x получаем
101/21/2
111
1
1/2 1/2 0 0
(1 )
bbb
b
d
y
xdx ydy ydy
y
−−−
−
−=− = =
∫∫∫∫
.
Этот интеграл сходится при 1–
b < 1, т.е. при b > 0.
При
а ≥ 1 и 1 ≥ x
≥
1/2 имеем:
111
)1()1(
−
−
−
−≤−
bba
xxx .
Следовательно, по теореме 1 интеграл
I
2
сходится при b > 0.
Таким образом, интеграл Эйлера I-го рода определен (сходится) для лю-
бых положительных значений
а и b.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
