Математика в нефтегазовом образовании: Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. Неопределенные и определенные интегралы. Калинин В.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13
ной сложной функции (())Ft
ϕ
будет первообразной для функции
(
)
() ()
f
tt
ϕϕ
′
на
I. В самом деле:
() () ()
() () () () ()Ft F t t
f
tt
ϕϕϕϕϕ
′
′′ ′
=⋅=⋅
⎡⎤
⎣⎦
.
Тем самым
()Fx C+
(левая часть (6)) и
(())Ft C
ϕ
+
(правая часть) совпадают,
если
x и t связаны равенством ()
x
t
ϕ
.
ПРИМЕР 15. Вычислить интеграл
ctg
x
dx
∫
(на любом интервале, где оп-
ределена подынтегральная функция).
Сначала напишем:
cos
ctg
sin
x
x
dx dx
x
=
∫∫
. Теперь замечаем, что выражение
cos
x
dx
представляет собой дифференциал выражения
sin
x
, а оставшаяся по-
дынтегральная функция
1
sin
x
также зависит только от sin
x
. Поэтому берем в
качестве новой переменной
sintx= . Получим тогда
ctg ln
dt
x
dx t C
t
=
=+
∫∫
.
Возвращаясь от переменной t к x, получаем окончательно
ctg ln sin
x
dx x C
=
+
∫
.
Аналогично вычисляется интеграл
tg ln cos
x
dx x C
=
−+
∫
.
Заметим, что в этом примере обозначения переменных переставлены по
сравнению с общей формулой (6).
ПРИМЕР 16. Вычислить интеграл
()
ax b dx
α
+
∫
при 1, 0a
α
≠− ≠ .
Введем новую переменную
taxb
=
+ . Ясно что dt a dx
=
, поэтому
()
()
1
1
1
11 1
11
ax b
t
ax b dx t dt C C
aa a
α
α
α
α
αα
+
+
⎛⎞
+
+= = += +
⎜⎟
⎜⎟
++
⎝⎠
∫∫
.

Страницы