Составители:
Рубрика:
15
u
et> при 0u > . Тогда
2
2
2
ln 1 ln 1
xx
utt
a
a
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
=+−= +−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
и, окончательно,
22
22
ln
dx
x
xa C
xa
⎛⎞
=+−+
⎜⎟
⎝⎠
−
∫
.
ПРИМЕР 20. Аналогично вычисляется интеграл
22
22
ln
dx
x
xa C
xa
⎛⎞
=+++
⎜⎟
⎝⎠
+
∫
,
если вместо подстановки
chtu= использовать подстановку shtu= .
ПРИМЕР 21. Вычислить интеграл
22
dx
I
x
a
=
−
∫
.
Решение. Попробуем представить подынтегральную функцию в виде
22
1 AB
x
axa
xa
=+
−+
−
,
где
A и B – неизвестные пока константы. Чтобы определить их, приведем ра-
венство к общему знаменателю и, поскольку он одинаков для правой и левой
частей, запишем тождественное равенство числителей:
1( )( )( )( )
A
x a Bx a A Bx A Ba≡++−=++−
Для выполнения тождества необходимо и достаточно, чтобы коэффици-
енты при одинаковых степенях переменной
x в левой и правой частях совпада-
ли. Это приводит к системе двух уравнений для
A и B:
0AB+=, 1/
A
Ba−= .
Решая ее, находим
1/(2 )
A
a= , 1/(2 )Ba
=
− . В результате получаем
11
2( ) 2( )
Idx
ax a ax a
⎡⎤
=− =
⎢⎥
−+
⎣⎦
∫
11 1 1
ln ln
22 2 2
dx dx
x
axaC
axa axa a a
=−=−−++
−+
∫∫
,
или, окончательно,
22
1
ln
2
dx x a
IC
axa
x
a
−
== +
+
−
∫
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
