Составители:
Рубрика:
17
ПРИМЕР 22. Вычислить интеграл
1
(1)
x
Idx
xx
−
=
+
∫
.
Заметим, во-первых, что
1
x
– это почти производная от
x
(не хватает
множителя
1/2, который легко "создать"). После этого было бы неплохо, чтобы
оставшаяся часть подынтегрального выражения содержала переменную интег-
рирования только в виде комбинации
x
. Осталось догадаться, что
(
)
2
x
x= .
Всё – замена найдена: tx= ! Итак
222
112
22
(1)
111
2
tx
x
tdttdt
Idx dt
dx
xx
dt
ttt
x
=
−−
====−
+
=
+
++
∫∫∫∫
.
С первым интегралом все ясно:
2
arctg arctg
1
dt
tC xC
t
=+= +
+
∫
.
Во втором интеграле надо опять заметить, что 2
t – это производная от
2
1t
+
,
после чего замена
2
1ut
=
+ дает
2
2
2
2
1
ln ln( 1) ln( 1)
2
1
tdt du
ut
uC t C x C
u
du tdt
t
=+
===+=++=++
=
+
∫∫
.
В результате имеем
2arctg ln( 1)IxxC=−++.
В числе приведенных выше примеров имеется значительное количество
таких, к которым достаточно часто сводится вычисление других, более слож-
ных интегралов. Естественно, было бы неразумно каждый раз проводить заново
однотипные выкладки. Проще выписать наиболее часто встречающиеся инте-
гралы в специальную таблицу. Такие интегралы и будут называться таблич-
ными. Их следует
знать наизусть, как таблицу умножения. Для удобства в таб-
лицу занесены и такие интегралы, которые не были разобраны выше (их спра-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
