Математика в нефтегазовом образовании: Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. Неопределенные и определенные интегралы. Калинин В.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14
ПРИМЕР 17. Если в предыдущем примере 1
α
=
− , то с той же заменой
переменной имеем
11
11 1
ln ln
dx dt
tC axbC
ax b a t a a
==+= ++
+
∫∫
.
Обобщив два последних примера, можно сказать, что при
0a ≠
1
() ()
f
ax b dx
f
tdt
a
+=
∫∫
, где taxb
=
+ . (7)
ПРИМЕР 18. Вычислить интеграл
22
dx
x
a
+
∫
, 0a > .
Интеграл легко сводится к интегралу из примера 8, если положить x = at.
Тогда
dx adt= , и мы получаем
22 222 2
11 1
arctg arctg
1
dx adt dt x
tC C
aa aa
xa ata t
=
==+=+
+++
∫∫ ∫
.
C помощью такой же замены
x = at легко вычисляется интеграл
22
arcsin
dx x
C
a
ax
=+
−
∫
.
ПРИМЕР 19. Вычислить интеграл
22
dx
x
a−
∫
.
Сначала с помощью уже знакомой замены
at
=
сводим интеграл к виду
22 2
1
dx dt
xa t
=
−−
∫∫
. Затем вводим еще одну замену chtu
=
, (0)u > , получая
(ch ) shdt u du u du
′
==. После этого
22 2
sh
ch 1
dx udu
du u C
xa u
=
==+
−−
∫∫∫
.
Чтобы теперь вернуться от переменной
u к переменной x, запишем снача-
ла связь между
u и t в виде
(
)
1
2
uu
ee t
−
+
= и выразим u через t, полагая
u
e
α
= . Получим равенство
1
2t
α
α
+
= , или квадратное уравнение
2
210t
α
α
−+=. Отсюда
2
1
u
ett
α
==± −
. Знак "−" следует отбросить, т.к.

Страницы