Составители:
Рубрика:
23
То, что описанное разложение рациональной дроби на сумму простейших
дробей всегда возможно, может быть доказано в общем виде. Но и этого мы де-
лать не будем, а просто рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл
4
2
3
21
x
dx
xx
−
+
+
∫
.
Подынтегральная функция рассматривалась в примере 1. Тогда
4
2
22
3
2
2
346
(23)
21 21
46
3.
3
21
xx
dx x x dx dx
xx xx
xx
x
xdx
x
x
−+
=−+− =
++ ++
+
=−+−
++
∫∫ ∫
∫
Нам осталось вычислить интеграл
2
23
21
x
dx
xx
+
+
+
∫
. Очевидно, разложение
знаменателя подынтегральной дроби имеет вид
()
2
2
21 1xx x
+
+= + . Поэтому
дробь представляется в виде суммы простейших дробей следующим образом:
()
12
22
23
1
21
1
AA
x
x
xx
x
+
=+
+
++
+
.
Как искать числа
1
A
,
2
A
? Приведем последнее равенство к общему знаменате-
лю и отбросим знаменатель. Получится:
12
23 (1)
x
Ax A+= + + .
Это − равенство двух многочленов первой степени.
Как известно, два многочлена тождественно равны тогда и только тогда,
если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравнива-
ние коэффициентов дает два уравнения относительно чисел
1
A
,
2
A
:
x
1
:
1
2
A
= ;
x
0
:
12
3
A
A=+.
Решая их, находим
1
2A = ,
2
1A
=
; после чего искомый интеграл приводится к
виду
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
