Составители:
Рубрика:
31
1. Интегралы вида (sin ,cos )
R
xxdx
∫
, (1)
где
R – рациональная функция переменных sin , cos
x
x . Другими словами, по-
дынтегральная функция в (1) – это результат конечного числа операций сложе-
ния, вычитания, умножения и деления, производимых над переменными
sin , cos
x
x
и числами.
Для рационализации данного интеграла рекомендуется, так называемая,
универсальная тригонометрическая подстановка:
tg
2
x
t =
. (2)
Реализуя ее в интеграле (1), получаем
2arctg
x
t= ,
2
2
1
dt
dx
t
=
+
,
2
2
2tg
2
2
sin
1
1tg
2
x
t
x
x
t
==
+
+
,
2
2
2
2
1tg
1
2
cos
1
1tg
2
x
t
x
x
t
−
−
==
+
+
.
Тогда
2
22 2
21 2
(sin ,cos ) ,
11 1
ttdt
Rx xdxR
tt t
⎛⎞
−
=
⎜⎟
⎜⎟
+
++
⎝⎠
∫∫
.
Ясно, что под знаком последнего интеграла возникает рациональная функция
от переменной
t.
ПРИМЕР 1. Провести рационализацию интеграла
sin cos
sin cos
x
x
dx
x
x
+
−
∫
.
Применяя универсальную тригонометрическую подстановку, получаем:
2
2
22
22 2 2
22
21
sin cos 2 2 1
11
2
sin cos
211 (21)(1)
11
tt
xx dt tt
tt
dx dt
xx
ttttt t
tt
−
+
+−++
++
==
−
−+ +−+
−
+
+
∫∫ ∫
.
Рационализация интеграла закончена.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
