Составители:
Рубрика:
33
Рационализация интеграла также удалась, причем проще, чем при ис-
пользовании универсальной тригонометрической подстановки.
Случай 1г. Интегралы вида
22
(sin , sin cos , cos )Rxxx xdx
∫
, (3)
где
R − рациональная функция своих аргументов, также могут быть рациона-
лизированы с помощью подстановки
tgtx
=
.
Интегралы (3) представляют собой частный случай интегралов (1), когда
функции
sin
x
и cos
x
входят в подынтегральное выражение только в четных
степенях. Известные тригонометрические тождества
2
222
111
1tg , 1
cos sin tg
x
x
xx
=+ =+
. (4)
позволяют в этом случае рациональным образом выразить подынтегральную
функцию в (3) через переменную
t.
ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл
22
sin 4sin cos 5cos
dx
x
xx x
+
−
∫
.
Здесь можно непосредственно применить тригонометрические формулы
(4). Однако есть более простой прием, основанный на внесении множителя
2
1
cos
x
под знак дифференциала (
2
(tg )
cos
dx
dx
x
= ):
()
22
2
2
2
2
2
sin 4sin cos 5cos
sin 4sin
5cos
cos
cos
tg
tg .
45
tg 4tg 5
dx dx
I
xxx x
xx
x
x
x
dx dt
xt
tt
xx
===
⎛⎞
++
++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
====
++
++
∫∫
∫∫
В результате получен рассматривавшийся в 1.2. интеграл от простейшей функ-
ции, содержащей квадратный трехчлен:
22
arctg( 2) arctg(tg 2)
45 (2) 1
dt dt
ItCxC
tt t
== =++=++
++ + +
∫∫
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
