Составители:
Рубрика:
32
Хотя универсальная подстановка (2) позволяет взять любой интеграл ви-
да (1), но есть частные случаи, в которых интеграл (1) можно рационализиро-
вать значительно проще, чем с помощью этой подстановки. Рассмотрим эти
случаи.
Случай 1а. В случае интеграла (sin ) cosRx xdx
∫
удобно применять под-
становку
sintx= . Интеграл превратится в ()Rt dt
∫
.
Случай 1б. Аналогично, интеграл
(cos )sinRxxdx
∫
с помощью подста-
новки
costx= превращается в ()Rt dt−
∫
.
ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл
3
sin
2cos
x
Idx
x
=
+
∫
.
Имеем
22
sin 1 cos
sin sin
2cos 2cos
xx
Ixdx xdx
x
x
−
==
++
∫∫
.
Теперь видно, что это интеграл вида 1б. Полагая
costx
=
, получаем
2
1
2
t
Idt
t
−
=−
+
∫
.
Случай 1в. Интеграл (tg )Rxdx
∫
берется с помощью подстановки
tgtx= , arctg
x
t= ,
2
1
dt
dx
t
=
+
, которая сводит его к интегралу
2
()
1
dt
Rt
t+
∫
.
В частности, такую подстановку можно было бы выполнить в примере 1:
2
2
sin
cos 1
sin cos
cos
sin
sin cos
cos 1
cos
tg ,
tg 1 t 1
arctg , .
tg 1 t 1
1
/(1 )
x
x
xx
x
dx dx
x
xx
x
x
xt
x
dt
dx x t
x
t
dx dt t
⎛⎞
+
⎜⎟
+
⎝⎠
==
−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
=
++
=== =⋅
−−
+
=+
∫∫
∫∫
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
