Составители:
Рубрика:
34
2. Интегралы вида
11 2 2
/
//
(, ,, )
kk
mn
mn m n
R
xx x dx
∫
… , (5)
где
R – рациональная функция своих аргументов.
Фактически подынтегральная функция в (5) представляет собой иррацио-
нальность, которая содержит конечное число радикалов степеней
n
1
, n
2
, …, n
k
от переменной
x.
Для сведения задачи (5) к интегрированию рациональной функции доста-
точно выполнить замену переменной
1
,,
nn
n
x
ttxdxntdt
−
== = ,
где
n − наименьшее общее кратное чисел n
1
, n
2
,…, n
k
:
n = НОК (n
1
, n
2
,…, n
k
),
или, говоря другими словами,
n − наименьший общий знаменатель дробей
12
12
,,,
k
k
m
mm
nn n
… .
ПРИМЕР 4. Вычислить
3
dx
x
x+
∫
.
Поскольку
1/2
x
x= ,
1/3
3
x
x= , а наименьшим общим кратным знаме-
нателей дробей 1/2 и 1/3 , стоящих в показателях степени, является число 6, то
рационализирующая подстановка в данном примере имеет вид
x = t
6
:
6
53
6
332
5
232
36 6
,
6
,6
1
6
1
61 2366ln|1|
1
236 6ln(1).
xt
dx t dt t dt
tx
t
xx
tt
dx t dt
tt dtt t t t C
t
x
xx x C
=
== = = =
+
+
+
=
⎛⎞
=−+− =−+−++=
⎜⎟
+
⎝⎠
=−+− ++
∫∫∫
∫
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
