Составители:
Рубрика:
35
3. Интегралы вида
11 2 2
/
//
(, ,, )
kk
mn
mn m n
R
zz z dx
∫
… , (6)
где
ax b
z
cx d
+
=
+
, R – рациональная функция своих аргументов.
Выражение (6) представляет собой интеграл от иррациональности, содер-
жащей радикалы степеней
n
1
, n
2
,…, n
k
от переменной
ax b
z
cx d
+
=
+
. Таким об-
разом, случай (6) обобщает случай (5).
Избавиться от иррациональности в интеграле вида (6) помогает аналогич-
ная подстановка:
(
)
1
2
()
,,,
nn
n
n
n
n
ax b ax b qt b n aq bp t
tt x dx dt
px q px q
apt
apt
−
++−−
== = =
++
−
−
.
ПРИМЕР 5. Рационализировать интеграл
4
11
11
dx
xx
xx
+
+
+
−
−
∫
.
Выполнив замену переменной
4
1
1
x
t
x
+
=
−
(число 4 представляет собой об-
щий знаменатель дробей 1/2 и 1/4), получим
()
() ()
43
4
42
4
4
22
22
4223
118
,,
1
11
1
1
11
88 .
1 ( 1) 1 ( 1) ( 1)
dx x t t dt
tx dx
x
xx
t
t
xx
tdt tdt
tt ttt
++−
=== = =
−
++
−
−
+
−−
=− =−
−+ +−+
∫
∫∫
Цель достигнута: получен интеграл от рациональной функции. Хотя,
справедливости ради, отметим, что его аналитическое вычисление представляет
собой малоприятную и громоздкую задачу, которую лучше поручить какой-
нибудь компьютерной математической программе, способной выполнять сим-
вольные вычисления, (например, системе “Mathematica”).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
