Составители:
Рубрика:
68
1. Вычисление площади в случае параметрического
задания кривой.
Кривая, ограничивающая криволинейную трапецию на рис. 8, может быть
задана в параметрической форме:
[]
o1
(),
(), , .
xt
y
tttt
ϕ
ψ
=
⎧
⎨
=∈
⎩
Для нахождения площади фигуры в этом случае проведем замену пере-
менной в интеграле из формулы (1в):
1
o
() ()
t
b
at
S
y
dx t d t
ψϕ
==
∫∫
, где
o1
(), ()atbt
ϕϕ
=
= .
Или, окончательно,
1
o
() ()
t
t
Sttdt
ψϕ
′
=⋅
∫
. (3)
ПРИМЕР 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом с полу-
осями
a и b.
Запишем, вначале, уравнение эллипса в каноническом виде:
22
22
1
xy
ab
+=
.
Использование формул площади фигуры в декартовых координатах в
данном случае привело бы к необходимости вычисления достаточно громозд-
ких интегралов. Перепишем уравнение эллипса в параметрической форме:
cos ,
sin ,
x
at
y
bt
=
⎧
⎨
=
⎩
где [0,2 ]t
π
∈ .
Принимая во внимание осевую симметрию эллипса, ограничимся вычислением
четверти площади, расположенной в первом квадранте. Верхняя граница этой
области отвечает значениям параметра
[0, / 2]t
π
∈
(рис. 13).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
