Составители:
Рубрика:
70
α
β
()rr
ϕ
=
O
r
ϕ
Рис.14 Криволинейный треугольник Рис.15. К выводу
в полярных координатах. формулы(5).
Вначале нам придется в общих чертах повторить процедуру построения
интегральных сумм, которая лежала в основе понятия определенного интегра-
ла. Роль отрезка [a, b], на котором в декартовых координатах была определена
функция
f (x), в полярной системе координат играет интервал изменения углов
[α, β], на котором определена функция
r(ϕ). Разобьем интервал [α, β] на n "ма-
леньких" углов
i
ϕ
Δ , сумма которых дает весь диапазон изменения полярного
угла для рассматриваемой фигуры:
1
n
i
i
ϕ
βα
=
Δ=−
∑
.
Рассмотрим часть фигуры, расположенную внутри угла
i
ϕ
Δ (рис. 15). В
получившемся элементарном "криволинейном" треугольнике с углом
i
ϕ
Δ
одна
из сторон равна
r
i
, а другая r
i
+Δr
i
. Третья сторона этого треугольника − "кри-
вая", она описывается уравнением
()rr
ϕ
=
. Превратим этот криволинейный
треугольник в настоящий, отрезав "лишнюю" криволинейную часть как это по-
казано на рис. 15. Поскольку угол
i
ϕ
Δ
мал (а точнее говоря, будет стремится к
нулю в ходе предельного перехода), то и площадь исходного криволинейного
треугольника ΔS
i
мало отличается от площади равнобедренного треугольника:
2
1
sin
2
ii i
Sr
ϕ
Δ≈ Δ.
В свою очередь, для малых углов справедливо условие sin
ii
ϕϕ
Δ
≈Δ , поэтому
r
i
Δϕ
i
ΔS
i
r
i
+Δr
i
линия
отреза
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
