Составители:
Рубрика:
72
ПРИМЕР 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
(1 cos )ra
ϕ
=− , (рис. 16).
Рис.16. Кардиоида.
В силу четности функции
(1 cos )ra
ϕ
=
− фигура обладает симметрией
относительно горизонтальной оси. Достаточно найти площадь ее верхней поло-
вины, отвечающей диапазону изменения полярного угла 0 ≤
ϕ
≤ π:
22
22 2
00 0
2
0
22
1
(1 cos ) (1 2 cos cos )
22 2 2
1
2sin (1 cos2 )
00
22
11 3
sin 2 .
00
22 4 4
Sa a
rd d d
a
d
aa
π
ππ
π
ϕ
ϕϕ ϕ ϕϕ
ππ
ϕϕ ϕϕ
ππ
π
πϕ ϕ
==− =−+ =
⎛⎞
⎜⎟
=−++ =
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=++ =
⎜⎟
⎝⎠
∫∫ ∫
∫
Таким образом, искомая площадь
2
3
2
a
S
π
= . (Заметим, что площадь фи-
гуры, ограниченной кардиоидой, оказалась в 1,5 раза больше площади круга
радиуса
a).
4. Длина дуги кривой в декартовых координатах.
Решим задачу о нахождении длины
L плоской кривой, описываемой
уравнением
y = f (x), между точками с абсциссами x = a и x = b (рис. 17). Бу-
a
a
r
O
2a
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
