Составители:
Рубрика:
71
2
1
2
iii
Sr
ϕ
Δ≈ Δ.
Площадь интересующей нас фигуры может быть найдена как сумма площадей
всех элементарных треугольников:
2
11
1
2
nn
iii
ii
SS r
ϕ
==
=Δ≈ Δ
∑∑
. (4)
Выражение (4) представляет собой интегральную сумму функции
()rr
ϕ
= на
отрезке ϕ ∈[α, β]. Теперь осталось совершить предельный переход: устремить к
бесконечности число
n, одновременно устремив к нулю максимальный из углов
i
ϕ
Δ . Для непрерывной функции ()rr
ϕ
=
в результате такого предельного пе-
рехода интегральная сумма (4) даст определенный интеграл:
22
max 0
1
11
lim
22
i
i
n
ii
i
rrd
β
ϕ
α
ϕ
ϕ
Δ→
=
Δ=
∑
∫
.
Таким образом, приходим к формуле для площади фигуры, ограниченной в по-
лярных координатах кривой
()rr
ϕ
= и лучами ϕ = α и ϕ = β:
2
1
2
Srd
β
α
ϕ
=
∫
. (5)
Замечание. Проведенная здесь процедура, имеет чрезвычайно важное
значение в различных геометрических и физических приложениях определен-
ного интеграла, и будет дальше применяться в еще более схематичном виде.
Суть процедуры состоит в том, что на первом ее этапе "малый" криволинейный
объект заменяется на прямолинейный. Понятие "малости" при этом не носит
универсального характера
− оно относительно. Так, несмотря на криволиней-
ность поверхности Земли, никому не придет в голову учитывать ее при строи-
тельстве дома: его характерный размер много меньше земного радиуса. На вто-
ром, заключительном этапе процедуры сумма большого числа "малых" слагае-
мых (интегральная сумма) заменяется определенным интегралом.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
