Составители:
Рубрика:
74
Длина всей кривой может быть получена суммированием длин всех элементар-
ных дуг
Δ
A
i
:
i
i
L =Δ
∑
A . Осуществляя в полученной интегральный сумме пре-
дельный переход
max 0
i
i
xΔ→, получим окончательную формулу для длины
дуги кривой:
()
2
1
b
a
L
y
'dx=+
∫
. (6)
Замечание. Формула (6) справедлива только для кривых, задаваемых
дифференцируемыми функциями. В частности, если у кривой имеются точки с
вертикальными касательными (там
y
′
=
∞), то для вычисления ее длины можно
либо использовать формулу (6), рассматривая соответствующий интеграл как
несобственный (о них будет идти речь в главе 5), либо записав уравнение кри-
вой в параметрической форме, для которой требование существования произ-
водной
f
′
(x) не обязательно.
ПРИМЕР 6. Найти длину дуги астроиды
2/3 2/3 2/3
xy
a+= (рис. 18).
Рис.18. Астроида.
Продифференцируем уравнение астроиды как неявную функцию:
a
x
y
a
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
