Составители:
Рубрика:
76
Воспользовавшись известным разложением
2
cos 1
2
x
x ≈− , справедливым для
малых значений аргумента, получим
2
22 2
()
()2()1
2
i
ii i i ii i
rrr rrr
ϕ
⎛⎞
Δ
Δ≈ + +Δ − +Δ −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
A
.
Отсюда после упрощения и отбрасывания членов более высокого порядка ма-
лости по сравнению с
2
()
i
rΔ и
2
()
i
ϕ
Δ имеем
(
)
2222222
() () ()()
iiii ii i
rr rr'
ϕ
ϕ
Δ≈Δ + Δ ≈ + ΔA
.
Длина искомой дуги кривой получается при суммировании длин всех элемен-
тарных дуг:
22
()
ii i i
i
Lrr'
ϕ
=Δ≈ + ⋅Δ
∑
A .
После уже описанного предельного перехода в интегральной сумме приходим к
окончательной формуле для длины дуги, заданной в полярных координатах:
22
()Lrr'd
β
α
ϕ
=+
∫
. (7)
ПРИМЕР 7. Найти длину кардиоиды
(1 cos )ra
ϕ
=
− , (рис. 16).
Имеем
222 222 2 22
( ) (1 cos ) sin (2 2cos ) 4 sin
2
rr'a a a a
ϕ
ϕϕ ϕ
+=− + =− =
.
Длину верхней половины кардиоиды найдем по формуле (7):
22
00
() 2 sin 4cos 4(01) 4
0
222
L
rr'd a d a a a
π
π
π
ϕϕ
ϕϕ
=+ = =− =−−=
∫∫
.
Тогда, окончательно, получаем длину целой кардиоиды:
L = 8a. (Доста-
точно странный на первый взгляд результат: кривая "более сложная", чем ок-
ружность, не содержит числа
π в выражении для своей длины!).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
