Составители:
Рубрика:
77
6. Длина дуги кривой, заданной параметрически.
Пусть плоская кривая описывается в декартовых координатах параметри-
ческими уравнениями
(),
().
x
xt
yyt
=
⎧
⎨
=
⎩
(8)
Найдем длину дуги этой кривой между точками, соответствующими зна-
чениям параметра
t = t
1
и t = t
2
, считая функции x(t) и y(t) дифференцируемы-
ми на отрезке [
t
1
, t
2
]. Воспользуемся уже полученным выражением для длины
элементарной дуги в декартовых координатах, лежащей над отрезком
Δx
i
:
22
22
()()
ii
ii i i
ii
xy
xy
t
tt
⎛⎞⎛⎞
ΔΔ
Δ≈ Δ +Δ = + Δ
⎜⎟⎜⎟
ΔΔ
⎝⎠⎝⎠
A
.
При малых
Δt
i
справедливы равенства
(), ()
ii
ii
ii
xy
x
t
y
t
tt
ΔΔ
′′
≈≈
ΔΔ
.
Тогда, суммируя длины всех элементарных дуг, в пределе при
max 0
i
i
tΔ→ получим искомую длину всей дуги:
max 0
lim
i
i
i
t
i
L
Δ→
=Δ
∑
A
.
Отсюда приходим к выражению для длины дуги кривой, заданной параметри-
чески:
() ()
2
1
22
t
tt
t
Lx'
y
'dt=+
∫
. (9)
Замечание. Формула (9) справедлива и для кривых, имеющих точки,
где
() 0xt
′
= . В этих точках, как уже было отмечено, производная функции (8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
