Составители:
Рубрика:
75
1/3
1/3 1/3
1/3
22
0
33
y
xyy' y'
x
−−
+=⇒=−
.
Астроида имеет две оси симметрии. Найдем по формуле (6) длину ее четвертой
части, лежащей в первом квадранте:
()
2
1/3 2/3 2/3
2
1/3 2/3
00 0
2/3
1/3 1/3 1/3 2/3
2/3
00
11
4
33
.
0
22
aa a
aa
Lyxy
y' dx dx dx
xx
a
a
dx a x dx a x a
x
−
⎛⎞
+
=+ =+− = =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
== = =
∫∫ ∫
∫∫
Тогда длина всей астроиды
L = 6a.
5. Длина дуги кривой в полярных координатах.
Получим теперь формулу для длины дуги кривой, заданной в полярных
координатах уравнением
()rr
ϕ
= между точками с полярными углами ϕ = α и
ϕ = β. Следуя стандартной процедуре, разобьем интервал углов [α, β] на малые
углы
Δϕ
i
(рис. 19). Каждую элементарную дугу ΔA
i
заменим отрезком прямой,
длину которого вычислим по теореме косинусов:
22 2
()2()cos
ii i i ii i i
rrr rrr
ϕ
Δ≈ + +Δ − +Δ ΔA .
Рис. 19. К выводу формулы (7).
Δϕ
i
r
i
+Δr
i
r
i
ΔA
i
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
