Составители:
Рубрика:
78
t
x
t
y
y
x
′
′
=
′
обращается в бесконечность, касательная к кривой на плоскости OXY
оказывается вертикальной, и формула (6), вообще говоря, оказывается нерабо-
тоспособной.
ПРИМЕР 8. Найти длину эвольвенты (развертки) окружности (рис. 20):
(cos sin ),
(sin cos ),
x
attt
ya tt t
=+
⎧
⎨
=−
⎩
[0,2 ]t
π
∈
.
(Такую кривую описывает конец нити, разматывающейся с окружности радиу-
са
a.)
Рис.20. Развертка окружности.
Получим вначале выражения для производных
t
x
' и
t
y' :
( sin sin cos ) cos ,
(cos cos sin ) sin .
t
t
x
'a t tt tat t
y' a t t t t at t
=− + + =
⎧
⎨
=−+=
⎩
Теперь по формуле (9) может быть найдена искомая длина кривой:
() () ()()
22
22 2 2
00
22
22 2 2
00
cos sin
2
1
cos sin 2 .
0
2
tt
Lx'y'dtattttdt
a t t t dt a t dt at a
π
π
ππ
π
π
=+= + =
=+===
∫∫
∫∫
y
a
x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
