Составители:
Рубрика:
82
Выделим элементарную трапецию, расположенную над отрезком Δx
i
оси
OX. При ее вращении вокруг оси OY возникает кольцо радиуса x
i
с криволи-
нейным верхним краем. Разрежем его по плоскости
OXY и выпрямим. Пренеб-
регая возникающими незначительными деформациями, получим в результате
пластину (рис. 24 б). Заменим эту пластину прямоугольным параллелепипедом
(для этого у нее просто отрежем верхний криволинейный край), длина которого
равна 2πx
i
(длина окружности радиуса x
i
), ширина Δx
i
и высота ()
ii
yfx= . При
малой величине
Δx
i
объем исходного элементарного кольца приблизительно
равен объему полученного параллелепипеда:
2
iiii
Vxyx
π
Δ≈ Δ.
Объем тела вращения равен сумме объемов всех элементарных колец:
2
y
iiii
ii
VV x
y
x
π
=Δ≈ Δ
∑∑
.
После уже не раз проводившегося предельного перехода (
Δx
i
→ 0, n → ∞) инте-
гральная сумма превратится в определенный интеграл. В результате получим
объем тела вращения вокруг оси
OY:
2
b
y
a
Vx
y
dx
π
=
∫
, где ()
yf
x
=
. (11)
ПРИМЕР 10. Найти объем тора, образованного вращением круга радиуса
R с центром, который удален от оси вращения на расстояние r, где r > R
(рис.25).
Примем ось
OY в качестве оси вращения окружности с центром, распо-
ложенном в точке (
r, 0) на оси OX, и радиусом R. Уравнение такой окружности
имеет вид
22 2
()
x
r
y
R−+=.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
