Составители:
Рубрика:
100
Контур интегрирования Г состоит из трех отрезков: на отрезке АВ пере-
менная
y
= 0, т.е. постоянна, следовательно, dy
= 0, а переменная x, которую
мы будем считать параметром, меняется в пределах 0
≤ x
≤ 1; на отрезке BC
переменная
y
= 1 – x, следовательно, dy = – dx, а переменная x меняется в пре-
делах 1
≥ x
≥0; на отрезке CA переменная x
= 0, т.е. постоянна, следовательно,
dx
= 0, и в качестве параметра следует взять переменную y, которая меняется в
пределах 1
≥ y
≥ 0.
Применяя теорему 2 пункта 6.2, запишем:
(
)
(
)
() ()
()( )()
()
10
01
0
0
0
23 2
2
1
1
1
011
1
.
23 2 3
AB
BC CA
xy dx y x dy xy dx y x dy
xy dx y x dy xy dx y x dy
dx x x dx x x dx
xx y
ydy x x
Γ
−− = −− +
+−−+ −−=
=⋅+ − −−−⋅−+
⎛⎞
+− = − +− − =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
∫∫
∫∫
∫
Вычислим теперь тот же интеграл другим способом – используя формулу
Грина.
В данном интеграле
P(x,y) = xy, Q(x,y) = – (y
– x), поэтому ∂Q/∂x = 1,
∂
P/∂y = x. По формуле (3) получаем:
(
)
(
)
() ( )
()
()
()
()
11 1
1
0
00 0
1
3
11
2
00
0
1
1
1
1
11 1 .
33
D
x
x
xy dx y x dy x dxdy
dx x dy dx y xy
x
xx xdx x dx
Γ
−
−
−− = − =
=−=⋅−=
−
=−−− =− = =
∫∫∫
∫∫ ∫
∫∫
Естественно, получен тот же результат.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
