Составители:
Рубрика:
9
Замечание. Существует еще одно общепринятое и, в ряде случаев, бо-
лее удобное обозначение двойного интеграла:
(, )
D
f
x
y
dxd
y
∫∫
,
которое в дальнейшем будет использоваться наряду с обозначением (2).
Осталось ответить на вопрос, не слишком ли обременительными являют-
ся требования, сформулированные в определении двойного интеграла. Сфор-
мулируем без доказательства теорему:
Теорема 1. Если область
D ограничена «хорошими» кривыми и функ-
ция
f(x,y) определена и непрерывна на замыкании
D
области D, то двойной
интеграл
(, )
D
f
x
y
dD
∫∫
существует.
Геометрический смысл двойного интеграла.
Пусть область D на плоскости OXY и определенная на ней неотрицатель-
ная функция
f (x,y) удовлетворяют всем допущениям п.4.1. Рассмотрим в про-
странстве
R
3
тело ("криволинейный цилиндр"), ограниченное сверху поверх-
ностью
z = f (x,y), снизу – плоскостью OXY, а по бокам – цилиндрической по-
верхностью с образующей, параллельной оси
ОZ, в качестве направляющей ко-
торой взята граница Γ(
D) области D (рис. 2).
Разобьём область
D на части D
i
«хорошими» кривыми (в частности, на-
пример, в качестве таких кривых могут быть взяты прямые, параллельные осям
ОХ и ОY). Обозначим через ΔV
i
объем части тела, расположенной над обла-
стью
D
i
. Очевидно, что объём V всего тела равен сумме элементарных объёмов
Δ
V
i
:
1
n
i
i
VV
=
=Δ
∑
. (3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
