Составители:
Рубрика:
10
Рис. 2. К геометрическому смыслу двойного интеграла.
Если диаметр разбиения
d
T
достаточно мал, то каждый элементарный
криволинейный цилиндр с основанием
D
i
можно заменить на прямой цилиндр с
высотой, равной значению функции
f (x,y) в произвольной точке Р
i
(ξ
i
, η
i
) осно-
вания. (Для этого у элементарного цилиндра нужно срезать "шапочку", т.е. его
верхнюю криволинейную часть, по плоскости, параллельной плоскости
OXY).
Объем полученного прямого цилиндра равен площади его основания │
D
i
│,
умноженной на высоту
f (ξ
i
,η
i
). Тогда для каждого элементарного объема имеем
(, )
iiii
Vf D
ξη
Δ≈ ⋅||.
Объем всего тела в соответствии с равенством (3) получаем суммированием
всех элементарных объемов:
11
(, )
nn
iiii
ii
VV
f
D
ξη
==
=Δ≈ ⋅
∑∑
||. (4)
Правая часть равенства (4) есть интегральная сумма функции
f (x,y) в об-
ласти
D. Перейдем в соотношении (4) к пределу, устремляя к нулю диаметр
разбиений
d
T
. Тогда по определению двойного интеграла имеем:
0
1
lim ( , ) ( , )
T
n
ii i
d
i
D
V
f
D
f
x
y
dD
ξη
→
=
=⋅=
∑
∫∫
|| . (5)
D
i
P
i
i
η
X
0
i
ξ
D
Z
M
i
Y
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
