Составители:
Рубрика:
13
Теорема о среднем. Пусть D – связная ограниченная область с «хоро-
шей» границей и пусть функция ƒ(
x,y) непрерывна на замыкании
D
области D .
Тогда существует точка
(, )
xy
D∈
, для которой выполнено равенство:
(, ) (, )
D
f
x
y
dD
f
x
y
D=⋅
∫∫
||
. (6)
Доказательство.
Любая непрерывная функция на замкнутом ограни-
ченном множестве достигает своего наибольшего и своего наименьшего значе-
ний. Следовательно существуют точки
А(х
o
, у
o
) ∈
D
и B (х
1
, у
1
) ∈
D
такие, что
oo
min ( , ) ( , )mfxyfxy== и
11
max ( , ) ( , )
M
fxy fx y
=
= . Из связности D су-
ществует непрерывная кривая, соединяющая точки
А и B. Запишем эту кривую
в параметрической форме:
(),
(),
x
xt
yyt
=
⎧
⎨
=
⎩
[
]
o1
,ttt∈ , где
oo
oo
() ,
() ,
x
tx
y
t
y
=
⎧
⎨
=
⎩
и
11
11
() ,
() .
x
tx
yt y
=
⎧
⎨
=
⎩
Функция
F(t) = f (x(t), y(t)) непрерывна как суперпозиция (сложная функ-
ция) непрерывных функций и принимает на концах отрезка [
t
o
, t
1
] значения m и
M. По свойству непрерывной функции для любого числа С, лежащего между m
и
M , (m < C < M), cуществует такая точка t
с
∈ [t
o
, t
1
], что F(t
с
) = C.
Теперь осталось вспомнить следствие 2 свойства 4:
(, )
D
mfxydDM
D
D⋅≤ ≤⋅
∫∫
|| ||,
или
1
(, )
D
mfxydDM
D
≤≤
∫∫
||
.
Возьмём в качестве числа
С величину
1
(, )
D
C
f
x
y
dD
D
=
∫∫
||
. (7)
Тогда существует такое значение
t
с
, что
() ((),()) (,)
ccc
CFt fxt yt fxy== =
, (8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
