Составители:
Рубрика:
15
Функция F(x) непрерывна как суперпозиция непрерывных функций и,
следовательно, интегрируема на отрезке [
a, b]. Назовем повторным интегра-
лом
значение определённого интеграла от функции F(x) на отрезке [a, b]:
2
1
()
()
() (, )
x
bb
D
aax
IFxdxdx
f
x
y
d
y
ϕ
ϕ
==
∫∫∫
. (2)
Аналогично может быть рассмотрена область
D′, ограниченная прямыми
y = c, y = d и кривыми x = ψ
1
(у), х = ψ
2
(у), (рис. 5), где функции ψ
1
и ψ
2
непре-
рывны на отрезке [
c, d], причем ψ
1
(у) ≤ ψ
2
(y). Такая область называется пра-
вильной областью второго типа.
Для непрерывной функции
(, )
f
x
y
можно определить повторный инте-
грал, аналогичный интегралу (2), но с другим порядком интегрирования по пе-
ременным
x и y:
2
1
()
()
(, )
y
d
D
cy
Id
yf
x
y
dx
ψ
ψ
′
′
=
∫∫
. (3)
ПРИМЕР 1. Вычислить повторный интеграл
()
3
3
2
1
x
x
dx x xy dy+
∫∫
.
Область интегрирования изображена на рис. 6. Вычислим вначале внут-
ренний интеграл:
()
3
333
3
2
22 2
73
23 6 2 5 3
2
()( ) .
222
x
xxx
x
x
xxx
x
y
x xy dy x dy x y dy x y x
xxx
xx x x x x x
+=⋅+⋅ =⋅+⋅=
⎛⎞
=−+⋅−=−+−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
Заметим, что в результате вычисления внутреннего интеграла получена функ-
ция переменной
x. Эта функция должна быть взята в качестве подынтегральной
для внешнего интеграла:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
