Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи. Калинин В.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

17
Теорема 1. Пусть правильная область D (первого типа) ограничена ли-
ниями
x = a, x = b, y = φ
1
(х), у = φ
2
(х), где функции φ
1
, φ
2
непрерывны на от-
резке [
a, b] и φ
1
(х) ≤ φ
2
(х), а функция (, )
f
xy непрерывна на замыкании
D
об-
ласти
D. Тогда двойной интеграл от этой функции по области D совпадает с
повторным:
2
1
()
()
(, ) (, ) ,
x
b
Dax
f
x
y
dxd
y
dx
f
x
y
d
y
ϕ
ϕ
=
∫∫ ∫ ∫
(4)
Доказательство теоремы основано на трех леммах.
Лемма 1. Пусть a < c < b. Тогда:
222
11
1
() () ()
() () ()
(, ) (, ) (, )
xxx
bcb
ax ax cx
dx
f
x
y
d
y
dx
f
x
y
d
y
dx
f
x
y
d
y
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
=+
∫∫ ∫∫ ∫∫
. (5)
Эта лемма представляет собой следствие свойства определенного инте-
грала от функции
F(x), определенной равенством (1).
Лемма 2. Пусть функции φ
1
, φ
2
и ψ непрерывны на отрезке [a, b], при-
чем φ
1
(х) ≤ ψ(х) ≤ φ
2
(х), и пусть функция (, )
f
xy непрерывна на
D
. Тогда
22
1
1
() ()
()
() () ()
(, ) (, ) (, )
xx
x
bbb
ax ax ax
dx
f
x
y
d
y
dx
f
x
y
d
y
dx
f
x
y
d
y
ϕ
ϕ
ϕϕψ
=+
∫∫ ∫∫ ∫∫
. (6)
Чтобы доказать это утверждение, зададим для любого фиксированного
x
некоторую первообразную
(, )
x
yΦ функции (, )
f
xy. По формуле Ньютона −
Лейбница при фиксированном
x получаем:
()
()
(, ) (,()) (, ())
hx
gx
f
x
y
d
y
xhx x
g
x=Φ −Φ
∫
. (7)
Примéним формулу (7) отдельно к левой и правой частям формулы (6).
Тогда получим

Страницы