Составители:
Рубрика:
18
левая часть (6) =
=
21 2 1
( (, ()) (, ())) (, ()) (, ())
bbb
aaa
dxxx xx xxdx xxdx
ϕϕ ϕ ϕ
Φ−Φ =Φ −Φ
∫∫∫
;
правая часть (6) =
12
( ( , ( )) ( , ( ))) ( ( , ( )) ( , ( )))
bb
aa
dxxx x x dxx x xx
ψϕ ϕ ψ
= Φ −Φ + Φ −Φ =
∫∫
12
(, ()) (, ()) (, ()) (, ())
bb b b
aa a a
x
xdx x xdx x xdx x xdx
ψϕ ϕ ψ
= Φ −Φ + Φ −Φ =
∫∫ ∫ ∫
= левой части (6).
Лемма 3. (Теорема о среднем для повторного интеграла). Суще-
ствует точка
(, )
x
yD∈
такая, что:
2
1
()
()
(, ) (, )
x
b
D
ax
Idxfxydyfxy
D
ϕ
ϕ
==⋅
∫∫
||
,
где
|D| − площадь области D.
Доказательство этого утверждения дословно повторяет доказательство
теоремы о среднем для двойного интеграла (свойство 5).
Теперь можно доказать теорему 1.
Доказательство теоремы 1. Разобьем область D на подобласти D
i
прямыми, параллельными оси Оу: х = с
q
, (q = 1, 2, …, A+1), где а = c
1
< c
2
<…<
<
c
A
< c
A
+1
= b, и кривыми: y = ψ
j
(x), ( j = 1, 2, …, k +1), где φ
1
(x) = ψ
1
(x)<ψ
2
(x) <
< …< ψ
k
(x) < ψ
k+1
(x) = φ
2
(x) (рис. 8). В результате область D оказывается раз-
битой на
n, (n = A ⋅ k), криволинейных трапеций с основаниями, параллельными
оси
Оу.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
