Составители:
Рубрика:
20
0
lim ( , )
T
T
d
D
S
f
x
y
dxd
y
→
=
∫∫
.
Но выражение под знаком предела есть постоянная, равная
I
D
, а значит,
2
1
()
0
()
(, ) lim (, )
T
T
x
b
D
d
Dax
f
x
y
dxd
y
SI dx
f
x
y
d
y
ϕ
ϕ
→
===
∫∫ ∫ ∫
.
Теорема доказана.
Приведем также геометрическое доказательство того же утверждения для
случая
f (x,y) ≥ 0. Как было показано выше, для этого случая двойной интеграл
(, )
D
f
x
y
dxd
y
∫∫
равен объему криволинейного цилиндра U, изображенного на
рис. 2 и рис. 9. С другой стороны, если обозначить через
S(х
о
) площадь сечения
тела
U плоскостью х = х
о
= const, то, как известно из свойств определенного
интеграла, объем тела можно найти интегрированием:
()
b
a
VSxdx=
∫
.
Рассмотрим сечение тела
U плоскостью х = х
о
(рис. 9). Это сечение огра-
ничено отрезками
АВ и СD, параллельными оси Оz, отрезком АС, параллель-
ным оси
Оy и кривой ВD с уравнением z = f (х
о
,y), (точки А и С имеют, соот-
ветственно, координаты:
А(х
о
, φ
1
(х
о
)), С(х
о
, φ
2
(х
о
)) в плоскости ОХY ). Пло-
щадь сечения вычисляется по формуле
2o
1o
()
oo
()
() (,)
x
x
Sx
f
x
y
d
y
ϕ
ϕ
=
∫
.
Следовательно,
2
1
()
()
(, ) () (, )
x
bb
Daax
f
x
y
dxd
y
USxdxdx
f
x
y
d
y
ϕ
ϕ
== =
∫∫ ∫ ∫ ∫
|| .
Теорема доказана.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
