Составители:
Рубрика:
125
По формуле из пункта 4.4 главы 4 имеем выражение для площади по-
верхности
Ω
k
:
()
22
1
k
kxy
D
gg
dxd
y
′′
Ω= + +
∫∫
.
Это равенство можно преобразовать, применив теорему о среднем для
двойного интеграла:
()()
(
)
22
1, ,
kxkkykkk
g
x
yg
x
y
D
′′
Ω= + + ⋅
, (4)
где
()
,
kk
x
y
– некоторая точка части D
k
, а │D
k
│– площадь этой части.
Подставляя формулу (4) в выражение (1) для интегральной суммы, полу-
чим:
() ()()
(
)
()
()
()()
(
)
22
1
22
1
1, ,
,, , 1 , , .
n
Tkxkkykkk
k
n
kk kk xkk ykk k
k
SfM gxygxyD
fg g
x
yg
x
y
D
ξη ξη
=
=
′′
=⋅+ + ⋅=
′′
=⋅++⋅
∑
∑
(5)
Отметим, что выражение (5) отличается от интегральной суммы
()
()
() ()
(
)
22
*
1
,, , 1 , ,
n
Tkkkkxkkykkk
k
Sfg g g D
ξη ξη ξη ξη
=
′′
=⋅++⋅
∑
двойного интеграла
()
()
() ()
(
)
22
,, , 1 , ,
xy
D
f
x
yg
x
yg
x
yg
x
y
dxd
y
′′
⋅+ +
∫∫
только
значениями аргументов частных производных
x
g
′
и
y
g
′
под знаком квадратного
корня. В силу предположения о гладкости поверхности эти частные производ-
ные непрерывны на замыкании
D
области D. Тогда и функция
() ()
(
)
()
22
1, , ,
xy
gxy gxy hxy
′′
++ =
также непрерывна на
D
.
Функция, непрерывная на замкнутой (т.е. содержащей свою границу) ог-
раниченной области является равномерно непрерывной на ней, т.е. для любого
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- …
- следующая ›
- последняя »
