Составители:
Рубрика:
126
значения ε > 0 существует такое δ > 0, что при диаметре d
T
разбиения мень-
шим
δ, разность
(
)
(
)
,,
kk kk
hhxy
ξη
−
будет меньше ε .
Из непрерывности на поверхности
Ω функции f(M) следует, что функция
f(х, у, g(x,y)) непрерывна, а следовательно, и ограничена на области
D
:
(
)
()
,, ,
f
x
yg
x
y
C≤ .
Тогда получаем, что при
d
T
< δ выполнено неравенство
()
()
()()
*
1
1
,, , , ,
,
n
T T kk kk kk kk k
k
n
k
k
SS f g h hxy D
CDCD
ξη ξη ξη
εε
=
=
−≤ ⋅ − ⋅ ≤
≤⋅⋅ =⋅⋅
∑
∑
поэтому при
d
T
→0 разность
*
0
TT
SS
−
→ , т.е. пределы интегральных сумм
T
S
и
*
T
S совпадают:
()
()
(
)
*22
00
lim lim , , , 1 .
TT
TT xy
dd
D
SS
f
x
yg
x
ygg
dxd
y
→→
′′
== ⋅++
∫∫
Отсюда и следует утверждение теоремы 2.
ПРИМЕР 1. Вычислить поверхностный интеграл I-го рода:
()
,Ix
y
d
Ω
=+Ω
∫∫
где Ω – часть плоскости 2x
+ 5y
+ z
= 10, лежащая в первом
октанте (рис. 3).
Поверхность
Ω задана уравнением: z
= 10 – 2x – 5y, откуда 2
x
z
′
=
− ,
5
y
z
′
=− , и
()
22
1142530
xy
zz
′′
++ =++=
. Следовательно, по формуле (3)
(
)
(
)
30 ,
D
Ix
y
dx
y
dxd
y
Ω
=+Ω=+⋅⋅
∫∫ ∫∫
где D – треугольник с вершинами в
точках (0,0), (5,0), (0,2) плоскости
OXY. Вычисляя двойной интеграл, получаем:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- …
- следующая ›
- последняя »
