Составители:
Рубрика:
131
Переходя к полярным координатам, получаем:
()
5cos
/2 /2
5cos
2
2
0
00 0
/2
0
5
21025
25
10 5sin 5 50 1 .
2
rdr
drd
r
d
ϕ
ππ
ϕ
π
ϕ
ϕ
π
ϕϕ
Ω= ⋅ =− ⋅ − ⋅ =
−
⎛⎞
=− ⋅ − = ⋅ −
⎜⎟
⎝⎠
∫∫ ∫
∫
Замечание. В пункте 4.4 главы 4 отмечалось, что если поверхность
Ω
задана на ограниченной области ∆ в плоскости переменных (u, v) параметриче-
скими соотношениями:
() ()
(
)
,, ,, ,,xu y u zu
ϕψ χ
===vvv
то ее площадь может быть найдена по формуле:
2
ЕGFdud
Δ
Ω= −
∫∫
|| v
,
где
222
uuu
E
ϕ
ψχ
′′′
=++
,
222
G
ϕ
ψχ
′
′′
=++
vvv
,
uuu
F
ϕ
ϕψψ χχ
′
′′′′′
=
++
vvv
− гаус-
совские коэффициенты поверхности
Ω.
Используя этот факт, можно получить формулу для вычисления поверхно-
стного интеграла I-го рода и в случае параметрического задания поверхности.
Соответствующее утверждение доказывается аналогично теореме 2:
Теорема 3. Пусть
Ω – гладкая поверхность, заданная уравнениями:
() () ()
,, ,, ,
x
uyuzu
ϕψ χ
===vvv, где (u, v)∈∆, причем соответствие между
областями
Ω и ∆ взаимно-однозначно. Тогда если функция f(M) определена и
непрерывна на поверхности
Ω, то справедливо равенство:
( ) ()()()
()
2
,, ,, ,, , .
f
x y z d f u u u EG F dud
ϕψ χ
ΩΔ
Ω= ⋅ −
∫∫ ∫∫
vvv v
(7)
ПРИМЕР 5. Пусть по поверхности
Ω сферы x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
распре-
делена масса с плотностью
()
22
,, .
x
yz x y
ρρ
==+
Найти массу сферы Ω.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- …
- следующая ›
- последняя »
