Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи. Калинин В.В - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

132
Разобьем поверхность Ω на части Ω
k
столь мелкие, что в пределах каж-
дой из них плотность можно считать постоянной. Выберем в каждой части
Ω
k
по произвольной точке M
k
. Тогда масса поверхности приближенно равна зна-
чению
()
1
()
n
kkT
k
mMS
ρ
=
Ω≈ ⋅Ω =
∑
,
и представляет собой интегральную сумму поверхностного интеграла I-го рода
от функции
ρ(M) по поверхности Ω. Чем меньше части разбиения, тем точнее
получается формула. В пределе для массы поверхности получаем:
()
()
0
1
() lim
T
n
kk
d
k
mMMd
ρρ
→
=
Ω
Ω= ⋅Ω = Ω
∑
∫∫
.
Введем сферические координаты:
cos cos , cos sin , sin .xR yR zR
θ
ϕθϕθ
===
Тогда
sin cos , cos sin ,
sin sin , cos cos ,
cos , 0.
xR xR
yR yR
zR z
θϕ
θϕ
θϕ
θϕ
θ
ϕ
θϕ
θ
ϕ
θ
′′
=− =−
′′
=− =
′′
==
Найдем гауссовские коэффициенты поверхности Ω:
22 2 22 2 2 2 2
22 2 22 2 22
22
sin cos sin sin cos ,
cos cos cos sin cos ,
cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0.
ER R R R
GR R R
FR R R
θϕ θϕ θ
θϕ θϕ θ
θθ ϕϕ θθ ϕϕ θ
=++=
=+=
=−+⋅=
Тогда по формуле (7) получаем искомую массу поверхности сферы:
()
2/2
22 222
0/2
/2
3223
/2
cos cos 0
2cos .
mxyddRRR d
RdR
π
π
π
π
π
ϕ
θθθ
πθθπ
Ω−
−
Ω= + Ω= ⋅ ⋅ − =
=⋅ =
∫∫ ∫ ∫
∫

Страницы