Составители:
Рубрика:
135
нии от точки M к точке N по кривой γ и обратно по кривой γ', мы получили бы
замкнутый контур, при движении вдоль которого нормаль меняет направление,
что невозможно в силу предположения о двусторонности поверхности. Таким
образом, можно считать, что всем точкам двусторонней поверхности приписано
определенное направление нормали.
Определение 1. Совокупность всех точек поверхности с приписанными
к ним нормалями, непрерывно изменяющимися от точки к точке, называется
определенной стороной поверхности. Если изменить направления нормалей во
всех точках на противоположные, и приписать каждой точке это новое направ-
ление нормали, будет получена вторая сторона поверхности.
ПРИМЕР 1. Пусть функция
F(x, y, z) имеет непрерывные частные произ-
водные, а поверхность
Ω задается уравнением: F(x, y, z) = 0. Тогда вектор
,,
FFF
grad F
x
yz
⎛⎞
∂
∂∂
=
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
(1)
задает нормаль к поверхности. Эта поверхность имеет две стороны, и сторона
поверхности определяется либо самим вектором
grad
F, либо противополож-
ным ему вектором (–
grad
F).
ПРИМЕР 2. Пусть поверхность
Ω задана уравнением:
(, ,) (, ) 0fxyz z gxy=− =, причем функция g(x, y) определена на ограниченной
области
D плоскости OXY, непрерывна на ней и имеет непрерывные частные
производные первого порядка. Если при этом соответствие между точками об-
ласти
D и точками поверхности Ω взаимно однозначно, то поверхность Ω бу-
дет являться двусторонней. Одна из сторон поверхности будет иметь нормаль
с направляющими косинусами:
()() ()()
22 22
//
cos
//1//1
fx gx
fx fy gx gy
α
∂∂ −∂∂
==
∂
∂+∂∂+ ∂∂+∂∂+
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- …
- следующая ›
- последняя »
