Составители:
Рубрика:
147
Выражение поверхностного интеграла II-го рода
через двойной интеграл.
Пусть поверхность Ω задается уравнением z = g(x, y), где функция g(x, y)
удовлетворяет условиям, сформулированным в примере 2 п.7.2, т.е. определена
на ограниченной области D плоскости OXY, непрерывна на ней и имеет непре-
рывные частные производные первого порядка. Зададим, как и выше, разбиение
T поверхности Ω, а проекции частей Ω
k
на плоскость OXY обозначим через D
k
.
Запишем интегральную сумму для поверхностного интеграла II-го рода от
функции
f(M), заданной на поверхности. Для верхней стороны поверхности ин-
тегральная сумма имеет вид
:
() ()
11
,, .
nn
Tkkkkkk
kk
SfMDf D
ξηζ
==
=⋅= ⋅
∑∑
(8)
Учитывая, что точка
M
k
лежит на поверхности, т.е.
()
,
kkk
g
ζξη
= , равен-
ство (8) можно переписать в виде:
() ()
()
11
,, ,
nn
Tkkkkkkk
kk
S
f
MD
fg
D
ξη ξη
==
=⋅= ⋅
∑∑
,
что представляет собой интегральную сумму для двойного интеграла:
(
)
()
,, ,
D
f
x
yg
x
y
dxd
y
∫∫
. Переходя к пределу при d
T
→ 0, получаем:
()
(
)
(
)
,, ,, ,
D
f
x y z dxdy f x y g x y dxdy
+
Ω
=
∫∫ ∫∫
. (9)
Для нижней стороны поверхности в силу формулы (2') получаем:
()
(
)
(
)
,, ,, ,
D
f
xyzdxdy f xyg xy dxdy
−
Ω
=−
∫∫ ∫∫
. (9')
Аналогичные формулы могут быть записаны и для интегралов
()
,,
f
xyzdxdz
+
Ω
∫∫
и
()
,,
f
xyzdydz
+
Ω
∫∫
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- …
- следующая ›
- последняя »
