Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи. Калинин В.В - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

149
Пусть теперь поверхность Ω задана параметрически на ограниченной об-
ласти
∆ в плоскости переменных (u, v) функциями:
() ()
(
)
,, ,, ,,xu y u zu
ϕψ χ
===vvv
причем эти функции удовлетворяют условиям из примера 3 п.7.2.
Обозначим через
+
Ω сторону поверхности, определяемую нормалью с на-
правляющими косинусами (см. формулы (4) и (5) из п.7.2)
222 222 222
cos ,cos ,cos
ABC
ABC ABC ABC
αβγ
===
++ ++ ++
,
где
,,.
uu uu uu
AB C
ψχ ϕχ ϕψ
ψχ ϕχ ϕψ
′′ ′′ ′′
==−=
′′ ′′ ′′
vv vv vv
Можно доказать, что в этом случае поверхностный интеграл (7) выража-
ется через двойной интеграл следующим образом:
(
)
(
)
(
)
()
,, ,, ,,
,
P
x
y
zd
y
dz Q x
y
zdzdx Rx
y
zdxd
y
PA QB RC dud
+
Ω
Δ
++=
=++
∫∫
∫∫
v
(10)
а для противоположной стороны поверхности
−
Ω
()
(
)
(
)
()
,, ,, ,,
P
x
y
zd
y
dz Q x
y
zdzdx Rx
y
zdxd
y
PA QB RC dud
−
Ω
Δ
++=
=− + +
∫∫
∫∫
v.
(10')
ПРИМЕР 3. Найти поток вектора rxi
zk
=
++
через внешнюю сторо-
ну поверхности, заданной параметрически:
cos cos sin sin , cos sin sin cos , sin ,
x
au bu yau bu zcu=+ =− =vv v v
где
0,0,02
2
cba u
π
π
<<< ≤≤ ≤≤v (рис. 17).

Страницы