Составители:
Рубрика:
153
Для основания конуса ddxdyΩ= . Пусть D – круг с границей
22
1xy+=
на плоскости
OXY , в который проектируется конус. Тогда, переходя к поляр-
ным координатам, получаем
()()
2
21
22 22 3
00
2
D
xyd xydxdy drdr
π
π
ϕ
Ω
+Ω= + = =
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
,
На боковой поверхности конуса имеем
22
22
22 22
11 2,
xy
xy
dzzdxd
y
dxd
y
dxd
y
xy xy
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
′′
Ω= + + = + + = ⋅
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
поэтому
()
(
)
1
22 22
2
2
D
xyd xydxdy
π
Ω
+Ω=⋅ + =
∫∫ ∫∫
.
Складывая два интеграла, получаем:
(
)
(
)
22
12.
2
xyd
π
Ω
+Ω=⋅+
∫∫
ПРИМЕР 2. Вычислить поток вектора rxi
yj
zk
=
++
через внешнюю
сторону сферы
222 2
xy
zR++=.
Используя линейность и аддитивность поверхностного интеграла, можно
записать:
(
)
(
)
(
)
12
111 222
,
rnd rnd rnd
x
d
y
dz
y
dxdz zdxd
y
xd
y
dz
y
dxdz zdxd
y
+++ −−−
ΩΩ Ω
ΩΩΩ ΩΩΩ
⋅Ω= ⋅Ω+ ⋅Ω=
=+++++
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
где
n
– внешняя нормаль к поверхности интегрирования, Ω – поверхность сфе-
ры,
Ω
1
– верхняя полусфера, Ω
2
– нижняя полусфера, Ω
1
+
– внешняя сторона
верхней полусферы,
Ω
2
–
– внешняя сторона нижней полусферы. (Нормаль к
внешней стороне
верхней полусферы образует с положительным направлением
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- …
- следующая ›
- последняя »
