Составители:
Рубрика:
156
Тогда, используя аддитивность поверхностного интеграла, легко найти
искомый поток:
(
)
(
)
(
)
(
)
12 3
13
123
22
023.
rnd rn d rn d rn d
hd Rd hR R Rh Rh
πππ
ΩΩ Ω Ω
ΩΩ
⋅Ω= ⋅ Ω+ ⋅ Ω+ ⋅ Ω=
=Ω++ Ω=⋅+⋅ =
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
(В последней строке использованы известные формулы для площади круга ра-
диуса
R и площади поверхности прямого кругового цилиндра радиуса R и вы-
соты
h ).
7.5. Формула Остроградского.
Формула Остроградского (или, формула Гаусса – Остроградского) явля-
ется аналогом формулы Грина для случая поверхностных интегралов. Формула
Грина связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру с двойным
интегралом по области, ограниченной контуром. Аналогично, формула Остро-
градского связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности с
тройным интегралом по телу, ограниченному данной поверхностью.
Рассмотрим сначала
случай тела V специального вида, а именно будем
считать, что тело ограничено сбоку – цилиндрической поверхностью
Ω
3
с обра-
зующей, параллельной оси
OZ, и направляющей – кусочно-гладкой границей
ограниченной области
D плоскости OXY; сверху – поверхностью Ω
1
, задавае-
мой уравнением
z = g
1
(x, y); снизу тело V ограничено поверхностью Ω
2
с урав-
нением
z = g
2
(x, y), (рис.21). Пусть функции g
1
(x, y) и g
2
(x, y) достаточно глад-
кие, т.е. удовлетворяют условиям, сформулированным в примере 2 п.7.2. Тогда
Ω = Ω
1
» Ω
2
» Ω
3
представляет собой замкнутую поверхность, внешнюю сто-
рону которой обозначим через
Ω
+
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- …
- следующая ›
- последняя »
