Составители:
Рубрика:
158
Для дальнейшего нам понадобится вычислить тройной интеграл по об-
ласти
V от функции ∂R(x,y,z)/∂z.
Используя формулу (4) из п.5.2. главы 5 получаем:
()
()
()
()
()
() ()
1
2
12
(,)
(,)
12
(, ,) (, ,)
,, , ,, ,
.
gxy
VDgxy
D
Rxyz Rxyz
dxd
y
dz dz dxd
y
zz
Rx
yg
x
y
Rx
yg
x
y
dxd
y
R M dxdy R M dxdy
++
ΩΩ
⎛⎞
∂∂
⎜⎟
=
=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
=− =
=+
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
∫∫ ∫∫
(2)
Последнее равенство в (2) основано на формуле (9) п.7.3, поскольку поверх-
ность
1
+
Ω – это внешняя сторона поверхности Ω
1
, а поверхность
2
+
Ω – внеш-
няя сторона поверхности
Ω
2
(рис. 21). Из формул (1) и (2) следует формула
Остроградского
:
()
(, ,)
.
V
Rxyz
dxd
y
dz R M dxd
y
z
+
Ω
∂
=
∂
∫∫∫
ô (3)
Аналогично выводятся формулы:
()
(, ,)
V
Pxyz
dxd
y
dz P M d
y
dz
x
+
Ω
∂
=
∂
∫∫∫
ô (4)
и
()
(, ,)
.
V
Qxyz
dxd
y
dz Q M dxdz
y
+
Ω
∂
=
∂
∫∫∫
ô (5)
Формулы (3) – (5), доказанные для «цилиндрических» тел, можно обоб-
щить и на случай, когда тело
V ограничено произвольной кусочно-гладкой по-
верхностью
Ω. Требования, накладываемые при этом на функции P(x,y,z),
Q(x,y,z) и R(x,y,z) несколько ужесточаются. Поскольку при доказательстве
формул (3) – (5) для общего случая тело
V пришлось бы разбивать на «цилинд-
рические» части, выступающие за пределы поверхности
Ω, то приходится тре-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- …
- следующая ›
- последняя »
