Составители:
Рубрика:
26
4. 3. Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть на плоскости ОХY задана область D, ограниченная «хорошей» (как
это было определено в п. 4.1) кривой
L = Γ(D). Предположим, что декартовы
координаты (
х, у) в плоскости ОХY являются функциями двух новых перемен-
ных (
u,v):
х = φ(u,v), y = ψ(u,v), (1)
причем функции φ и ψ непрерывны и имеют непрерывные частные производ-
ные в ограниченной области
Ω (u, v) с «хорошей» границей Γ(Ω). Для кратко-
сти, для функций, обладающих такими свойствами, введем обозначение:
φ, ψ ∈ С
1
(Ω).
Будем считать, что отображение (1) взаимно однозначно отображает об-
ласть
Ω на область D, причем граница Γ(Ω) области Ω при этом отображении
переходит в границу
Γ(D) области D.
Зададим также функцию
(
)
(, )
f
xy CD∈ , т.е. функцию, непрерывную на
замыкании области
D.
Теорема 1. Для двойного интеграла
(, )
D
f
x y dxdy
∫∫
при заданных выше
ограничениях на функции и области справедлива формула
(, ) ( (,), (,))
D
f
x y dxdy f u u J dud
ϕψ
Ω
=⋅
∫∫ ∫∫
vv v
, (2)
где через |
J | обозначен модуль определителя Якоби, или якобиана, задающе-
гося формулой
(,) (,)
(,)
(,) (,)
uu
u
JJu
uu
u
ϕ
ϕ
ψψ
∂∂
∂∂
==
∂∂
∂∂
vv
v
v
vv
v
. (3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
