Составители:
Рубрика:
30
Переход к полярным координатам в двойном интеграле.
Применима ли теорема 1 при переходе от декартовых координат к поляр-
ным? Известно, что эти системы координат не находятся во взаимно однознач-
ном соответствии. Действительно, соотношения
x = r cos φ , y = r sin φ (7)
определяют угол φ с точностью до 2
kπ, и к тому же точке O(0,0) отвечает лю-
бой угол φ.
Однако если рассматривать в плоскости (
r, φ) только области Ω, лежащие
в полуполосе {0 ≤ φ <
2π, r > 0}, а в плоскости (x, y) − области D, не включаю-
щие в себя точку (0,0) (рис. 16), то можно считать, что условия теоремы выпол-
нены и формулу (2) можно применять.
Из соотношений (7) получаем в этом случае якобиан (3):
22
//cossin
cos sin
//sincos
xr x r
J
rrr
yr y r
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ ϕ
∂∂ ∂∂ −
===+=
∂∂ ∂∂
,
и формула (2) для
двойного интеграла в полярных координатах принимает
вид:
(, ) (cos , sin ) .
D
f
x y dxdy f r r r drd
ϕϕ ϕ
Ω
=
∫∫ ∫∫
(8)
Рис.16. Области, для которых справедлива формула (8).
X
Y
O
D
Ω
r
2
π
ϕ
O
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
