Составители:
Рубрика:
32
Рис.18. К примеру 2.
Для области, ограниченной эллипсом
22
22
1
xy
ab
+=
,
при вычислении двойного интеграла удобно использовать, так называемые,
обобщенные полярные координаты:
cos , sinxar ybr
ϕ
ϕ
=⋅ =⋅ . (9)
Якобиан для этой замены координат имеет выражение
// cos sin
// sincos
xr x a ar
J
abr
yr y b br
ϕ
ϕϕ
ϕϕ ϕ
∂∂ ∂∂ −
== =
∂∂ ∂∂
.
Поэтому по формуле (2) получаем:
(, ) ( cos , sin )
D
f
x
y
dxd
y
ab
f
ar br r drd
ϕ
ϕϕ
Ω
=⋅
∫∫ ∫∫
.
В нашем примере
4, 1;ab
=
= границы области в новых координатах задаются
соотношениями: 1 ≤
r
2
≤ 3; y /x = (b/a) tg φ = 1/4, т.е. φ = π/4; φ = π/2. Отсюда
/2 3
55
/4 1
/2
3
/2 3
53 4 2
1
/4 1
/4
cos
16
sin
cos 1 1
16 16 4.
sin 4sin 2
r
mab rdrd d rdr
r
ddr
rr
π
π
π
π
π
π
ϕ
μϕ ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
Ω
=⋅ = =
==⋅=
∫∫ ∫ ∫
∫∫
y = x/4
2
2
3
16
x
y+=
2
2
1
16
x
y+=
X
Y
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
