Составители:
Рубрика:
33
4. 4. Вычисление площади поверхности.
Пусть функция
f ∈ C
1
(R
2
) задает поверхность z = f (x, y) в пространстве
R
3
. Нашей задачей будет нахождение площади части поверхности Ω, ограни-
ченной замкнутой кусочно-гладкой кривой
Γ = Γ(Ω).
Попробуем определить площадь поверхности аналогично тому, как ранее
определялась длина дуги. Длиной дуги мы называли предел периметра вписан-
ной в нее ломаной при условии, что длины сторон ломаной стремятся к нулю.
В случае поверхности было бы естественно вписывать в неё многогран-
ную поверхность и определять площадь как предел площади
поверхности мно-
гогранника при стремлении к нулю диаметров всех граней.
Однако, как было показано в конце XIX века математиком Г. Шварцом,
это определение некорректно. Он сумел в обычный прямой круговой цилиндр с
высотой
h и радиусом R (площадь поверхности которого, как известно из шко-
лы, равна
2 Rh
π
) вписать многогранник, сумма площадей граней которого
стремится к бесконечности, даже если диаметры граней стремятся к нулю.
Этот многогранник называется
сапогом Шварца и строится следующим
образом (рис. 19):
1)
делим высоту h на m равных частей и через точки деления проводим
плоскости, параллельные основанию. В сечениях получаем окружности.
Каждую полученную окружность делим на
n равных частей, так что
точки деления каждой нижней окружности лежат под серединами
дуг де-
ления вышележащей окружности. Соединяя соседние точки деления от-
резками, получаем поверхность из треугольников, похожую на смятое го-
ленище сапога. Несложно доказать, что площадь полученного многогран-
ника равна:
2
24
2
.
2
2
4
мн
Rm
SRh
n
π
π
⎛⎞
=+⋅
⎜⎟
⎝⎠
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
